Рас­смот­рим че­ты­рех­уголь­ник KOMP: Тре­уголь­ник KOP пря­мо­уголь­ный, В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KHO KO = 1,5, тогда Най­дем объем впи­сан­но­го ко­ну­са:

Ответ:

Рас­смот­рим тре­уголь­ник AOP: AP = 6, тогда Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AKO: тогда В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке KHO: тогда Най­дем объем впи­сан­но­го ко­ну­са:

Ответ:

При вра­ще­нии та­ко­го тре­уголь­ни­ка во­круг одной из сто­рон по­лу­чат­ся два рав­ных ко­ну­са, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­рых равен вы­со­те тре­уголь­ни­ка. Вы­со­ты этих ко­ну­сов равны по­ло­ви­не сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка. Имеем:

Тогда объём по­лу­чен­ной фи­гу­ры равен:

Ответ:

При вра­ще­нии та­ко­го тре­уголь­ни­ка во­круг одной из сто­рон по­лу­чат­ся два рав­ных ко­ну­са, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­рых равен вы­со­те тре­уголь­ни­ка. Вы­со­ты этих ко­ну­сов равны по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы тре­уголь­ни­ка. Имеем:

Тогда объём по­лу­чен­ной фи­гу­ры равен:

Ответ:

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис): AP, BP и CP  — бо­ко­вые рёбра, углы между ними пря­мые.

До­стро­им тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду PABC до па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Ра­ди­ус сферы, опи­сан­ный около дан­ной пи­ра­ми­ды и па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли d этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да. Найдём эту диа­го­наль:

Зна­чит, ра­ди­ус R опи­сан­ной окруж­но­сти равен 2. Найдём объём V шара:

Ответ:

При­мем длину об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са за тогда ра­ди­ус сек­то­ра также равен На­хо­дим длину дуги сек­то­ра Так как то В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке POA по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Вы­чис­лим объем ко­ну­са, ис­поль­зуя все име­ю­щи­е­ся дан­ные:

Ответ:

При­мем длину об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са за тогда ра­ди­ус сек­то­ра также равен На­хо­дим длину дуги сек­то­ра Так как то В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке POA по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Вы­чис­лим объем ко­ну­са, ис­поль­зуя все име­ю­щи­е­ся дан­ные:

Ответ:

Най­дем ра­ди­ус ос­но­ва­ния опи­сан­но­го ко­ну­са, зная длину этой окруж­но­сти по­лу­чим

Так как дан­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная по усло­вию, то в ее ос­но­ва­нии лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник. Тогда, зная, что ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти в два раза боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти, по­лу­чим

Най­дем объ­е­мы обоих впи­сан­ных ко­ну­сов и вы­чис­лим их раз­ность:

Ответ:

Най­дем ра­ди­ус ос­но­ва­ния впи­сан­но­го ко­ну­са, зная длину этой окруж­но­сти

Так как дан­ная пи­ра­ми­да пра­виль­ная по усло­вию, то в ее ос­но­ва­нии лежит квад­рат. Тогда, зная, что ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти в ко­рень из двух раз боль­ше ра­ди­у­са впи­сан­ной окруж­но­сти, по­лу­чим

Най­дем объ­е­мы обоих впи­сан­ных ко­ну­сов и вы­чис­лим их раз­ность:

Ответ:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ци­лин­дра:

По усло­вию объем шара в два раза мень­ше объ­е­ма ци­лин­дра, тогда V_шара = 8 см³. Най­дем ра­ди­ус шара:

Тогда ра­ди­ус ос­но­ва­ния ци­лин­дра боль­ше ра­ди­у­са шара (), диа­метр шара мень­ше диа­мет­ра ци­лин­дра (). Сле­до­ва­тель­но, шар по­ме­стит­ся в ци­линдр.

Ответ: по­ме­стит­ся.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит пра­виль­ный тре­уголь­ник, при­мем его сто­ро­ну за a. По усло­вию дву­гран­ный угол при бо­ко­вом ребре пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 120°, зна­чит, Тре­уголь­ник AKB  — рав­но­бед­рен­ный (AK  =  BK), тогда Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник BKC. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

Тогда:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник PMC, в ко­то­ром и тогда Так как тре­уголь­ник ABC рав­но­сто­рон­ний, то H  — центр тре­уголь­ни­ка, от­ку­да

Из тре­уголь­ни­ка MHP по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра По усло­вию вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 3, тогда:

Вы­со­та ко­ну­са, опи­сан­но­го около пи­ра­ми­ды, равна вы­со­те, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су опи­сан­но­го около тре­уголь­ни­ка ABC окруж­но­сти. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са, где и h  =  3:

Ответ: 72π.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит квад­рат, при­мем его сто­ро­ну за a. По усло­вию дву­гран­ный угол при бо­ко­вом ребре пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равен 120°, зна­чит, Тре­уголь­ник DKB  — рав­но­бед­рен­ный, DK  =  BK, тогда Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник DKC. Вос­поль­зу­ем­ся тео­ре­мой си­ну­сов:

Тогда

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник PMC, в ко­то­ром и тогда Так как ABC квад­рат, то H  — центр квад­ра­та, от­ку­да

Из тре­уголь­ни­ка MHP по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра По усло­вию вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 5, тогда:

Вы­со­та ко­ну­са, впи­сан­но­го в пи­ра­ми­ду, равна вы­со­те, а ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су впи­сан­ной в квад­рат ABCD окруж­но­сти. Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ко­ну­са, где r  =  5, h  =  5:

Ответ:

Так как ци­линдр опи­сан во­круг шара, его осе­вым се­че­ни­ем яв­ля­ет­ся квад­рат, то есть диа­метр ос­но­ва­ния ци­лин­дра равен вы­со­те ци­лин­дра (2r = h). Кроме того, ра­ди­ус шара равен ра­ди­у­су ос­но­ва­ния ци­лин­дра (R = r).

Найдём от­но­ше­ние объёмов:

Ответ: 2:3.

Пусть a  — ребро куба. Вы­ра­зим ребро через пло­щадь куба и най­дем объем:

Пусть b  — вы­со­та ци­лин­дра, тогда ра­ди­у­са ци­лин­дра равен Вы­ра­зим вы­со­ту через пло­щадь и най­дем объем:

Пусть R  — ра­ди­ус шара. Вы­ра­зим ра­ди­ус через пло­щадь и най­дем объем:

Чис­ли­те­ли объ­е­мов каж­дой фи­гу­ры равны, срав­ним зна­ме­на­те­ли:

Ответ: шар.

Пусть a  — ребро куба. Вы­ра­зим ребро через пло­щадь куба и най­дем объем:

Пусть b  — об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, тогда ра­ди­у­са ос­но­ва­ния и вы­со­та ко­ну­са равны со­от­вет­ствен­но и Вы­ра­зим об­ра­зу­ю­щую через пло­щадь и най­дем объем:

Пусть R  — ра­ди­ус шара. Вы­ра­зим ра­ди­ус через пло­щадь и най­дем объем:

Чис­ли­те­ли объ­е­мов каж­дой фи­гу­ры равны, срав­ним зна­ме­на­те­ли:

Ответ: конус.

В тре­уголь­ник TPM впи­сан квад­рат Пусть его сто­ро­на равна

Тогда имеем

и Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки PTM и PNF. В них   — общий, а как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых NF и TM (PT  — се­ку­щая). Тогда эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны до двум углам, сле­до­ва­тель­но:

Най­дем объём ци­лин­дра:

Ответ:

В тре­уголь­ник TPM впи­сан квад­рат Пусть его сто­ро­на равна

Тогда имеем

и Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки PTM и PNF. В них   — общий, а как со­от­вет­ствен­ные углы при па­рал­лель­ных пря­мых NF и TM (PT  — се­ку­щая). Тогда эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны до двум углам, сле­до­ва­тель­но:

Най­дем объём ци­лин­дра:

Ответ:

Про­ве­дем вы­со­ту DO и апо­фе­му DM, тогда по усло­вию За­ме­тим, что OO₁  — ось ци­лин­дра, а M₁  — точка ка­са­ния верх­не­го ос­но­ва­ния ци­лин­дра и апо­фе­мы. По­лу­ча­ем, что тре­уголь­ник DOM рав­но­бед­рен­ный. По усло­вию OO₁ = 2M₁O₁. Пусть AB = a, тогда:

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма пи­ра­ми­ды:

При­мем M₁O₁ за x, тогда OO₁ = 2x. Зная, что по­лу­ча­ем, что DO₁ = x, а DO = 3x. Тогда имеем:

Вы­со­та ци­лин­дра и ра­ди­ус ос­но­ва­ния равны со­от­вет­ствен­но и

Вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой объ­е­ма ци­лин­дра:

Тогда ис­ко­мое от­но­ше­ние:

Ответ:

Пусть ра­ди­ус пер­во­го ци­лин­дра равен R, тогда ра­ди­ус вто­ро­го равен 2R, и пусть их вы­со­ты равны h. Найдём объёмы V₁ и V₂ этих ци­лин­дров:

По­лу­ча­ем, что объём вто­ро­го ци­лин­дра боль­ше пер­во­го в 4 раза, то есть на 300%.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой г).

Пусть вы­со­та пер­во­го ко­ну­са равна h, тогда вы­со­та вто­ро­го равна и пусть их ра­ди­у­сы равны R. Найдём объёмы V₁ и V₂ этих ко­ну­сов:

По­лу­ча­ем, что объём пер­во­го ко­ну­са боль­ше вто­ро­го в 4 раза, то есть на 50%.

Пра­виль­ный ответ ука­зан под бук­вой б).